HISTORIA DE LA EDUCACIÓN EN
VENEZUELA
En las líneas que siguen se hará un análisis "grosso modo", de la historia de la educación en Venezuela, tomando en consideración sus hitos salientes, procesos conformantes en períodos particulares y sus fundamentos filosóficos, sociológicos y pedagógicos, así como los resultados que históricamente se muestran en documentos; por tanto este ensayo habrá de tener un diseño precisamente documental pero su enfoque metodológico viene a ser el de la Ciencia de la Historia, la cual aspira lograr una visión de totalidad y de síntesis de procesos económicos, sociales y culturales que expresan la acción de los hombres en el tiempo y el espacio, (Bloch, 1986, Vilar, 1981, Braudel, 1979).
El imperativo de volver la mirada al pasado se impone con frecuencia a quien pretenda comprender el presente, ya que los hechos sociales con sentido poseen una trayectoria de eventos que conviene caracterizar diacrónicamente; es decir, por sus periodos más importantes distinguiendo las especificidades.
El presente hunde sus raíces, por así decirlo, en el pasado; las causalidades de ciertos comportamientos en lo individual o colectivo y hasta institucionales suelen ser consecuencia de modelos adoptados en el pretérito, remoto o contemporáneo.
Por eso Brito Figueroa (1978) habla elogiando a la historia como una "Ciencia práctica", que suministra rubros como los reportes de investigación y sus conclusiones que contribuyen a la toma de decisiones para resolver problemas de índole social en el presente.
En ese sentido, al hablar de historia de la educación en Venezuela suele partirse de la fundación hispana, sin embargo en puridad de verdad cabría mencionar la pedagogía aborigen o negra (Uslar Pietri, 1989) entendiendo por tal la transmisión de las prácticas sociales de manera informal y consuetudinaria del aborigen y el negro junto a su prole en la cotidianidad de sus haceres y saberes; lo que Lanz Rodríguez (2003) da en llamar el "cimarronismo" e "indigenismo"; esa enseñanza se expresaría en las prácticas del conuco, cestería y pesca tradicionales de comunidades campesinas y acerbo tradicional negroide, sus cantos y modos de vida, todo lo cual viene a ser un complejo socio-cultural llamado "resistencia", a lo que también se ha referido Brito García, (1986) conceptualizándolo como "resistencia contra-cultural" que pervive desde tiempos inmemoriales. Así pues, existe en Venezuela una educación informal de larga data no sistematizada.
En virtud de que las sociedades humanas se tornan más complejas, la educación se institucionaliza, (Savater, 1997). Ya no es posible que los hijos acompañen al padre en el taller, aparecen los gremios de profesiones u oficios que se hacen de una práctica, de una técnica y hasta una "teoría" sobre como hacerlo, de esa suerte tiene lugar el surgimiento de la "educación escolar" caracterizada por su intencionalidad, sistematicidad y organización institucional, prevalida además de una didáctica con sus métodos y tratadistas.
Establecidos los anteriores conceptos se pasa ahora al cuerpo central que comprende este escrito, cuyas preguntas nodales serían: ¿Qué ha sido de la educación escolar en Venezuela y su proceso histórico de conformación? ¿Cuáles son sus orígenes? ¿Qué ha caracterizado sus etapas? ¿Cuáles han sido sus fundamentos? ¿Qué resultados ofrece a la comunidad nacional tal proceso?
En las posesiones de ultramar del reino de España, el Cabildo se encargaba de la educación y por su intermedio hubo de establecer cátedras de gramática y habilitaba para el ejercicio de la docencia; pero aparte de algunos maestros particulares, en la colonia no había mayor escolarización hasta la fundación de la Universidad de Caracas, las escuelas de primeras letras, latinidad y colegios nacionales. Instituciones en verdad de escaso número y cobertura. A estos accedían sólo los hijos de los blancos, la élite de una sociedad de clases y castas, (Brito Figueroa, ).
Es el primer periodo de la historia de la educación en Venezuela al momento de establecerse la fundación hispana, en ese tiempo al decir de Leal (1981) la educación y la "Real y Pontificia Universidad de Caracas", de 1721, cumplía un rol como: "elemento integrador del disperso conglomerado humano de las provincias venezolanas sujetas al imperio español", Filosofía, teología, gramática, cosmografía, conformaban parte del plan de estudios para formar el "personal idóneo en el campo político y religioso" .
La universidad republicana, una vez lograda la independencia política venezolana, la establece el mismo Libertador con la colaboración de José María Vargas, en 1827, a la que le asigna la Hacienda Pía de Chuao para su financiamiento y en 1830; José Antonio Páez crea los colegios nacionales para la ilustración ciudadana; además ya desde 1821 una disposición legal exigía escuelas en los pueblos donde hubiera 30 escolares, cosa que la inestabilidad social e institucional por las guerras internas de Venezuela impidió hacer efectivo.
De las ideas y datos anteriores se colige que la educación escolar, constituye una institución social que expresa los objetivos del Estado en cuanto al hombre y la sociedad, que eventualmente reproduce sus relaciones sociales y puntos de vista, o la filosofía política e ideológica dominantes. En atención a ello la educación es monárquica o republicana, con los valores de uno u otro tipo pero, en ambos casos, la educación habilita para la vida en sociedad, con grados académicos o sin estos como las artes y oficios, o las profesiones llamadas liberales de médico, abogado, entre otras, recordando que en la colonia éstos los obtenían los blancos y pardos en universidades y colegios; lo otro en cambio era monopolio de los gremios en sus talleres de artes y oficios; de donde se concluye que en ese primer periodo la educación era clasista y elitesca, semejante a la sociedad a la que servía.
En el que se podría llamar segundo período.
Simón Bolívar, el Libertador, demuestra en sus escritos la comprensión que tenía en tomo a la educación.
La entendía como un medio eficaz para superar las desigualdades y elevar los niveles de conciencia.
En el Discurso de Angostura (15 de agosto de 1819) pedía al congreso que priorizara la educación para formar ciudadanos, hombres y mujeres libres, sin la sujeción de la ignorancia y el dogma por los que España había dominado el Nuevo Mundo, argumentaba, más que por las armas.
Así, si en la colonia se formaba para ser vasallos y defender al monarca, en la república se forma para la autonomía política con la colaboración de las ciencias y técnicas liberales; por lo que la primera se fundamenta en la fe y el dogma medieval del derecho divino de los reyes y la segunda en la razón, con todas las consecuencias que una y otra cosa suponen en cuanto a los fines o teleología: el uno tiene como referente a Dios y el otro al hombre.
Es lo que Kant llamó "giro copemicano" en la antropología filosófica, reafirmando la autonomía del hombre como supremo hacedor de "su" mundo cultural y simbólico, usando la razón, su cualidad distintiva. Así, de la mano del liberalismo decimonónico había de desarrollarse la escuela en el tiempo de la República, del que por demás el pensamiento del Libertador es tributario, con su fe en la ciencia y la técnica como propiciadores de progreso y civilización. Resultado de ello vendría a ser la primera generación de positivistas de la época de Guzmán Blanco, quien además en 1870 dicta el decreto que universaliza en Venezuela la educación gratuita y obligatoria para el nivel de la escuela primaria, estableciendo así mismo un anticlericalismo e impulsando la ciencia positiva; a la manera de las tesis del evolucionismo de Darwin, Spencer y otros.
Esta debía entenderse como una educación ilustrada y de corte nacionalista teniendo como referentes los héroes patrios y en particular El Libertador. Los resultados sin embargo parecen indicar que continuó la práctica pedagógica tradicional, dominada por los métodos memorísticos escolásticos de recitar contenidos librescos de escasa vinculación con las demandas de la sociedad contemporánea. Solo la Escuela Nueva o Activa introduciría cambios.
Algunas de estas demandas de Venezuela a la educación contemporánea están recogidas en el llamado "Programa de febrero", entregado por lo que sería hoy la sociedad civil al General Eleazar López Contreras, a la sazón encargado de la presidencia de la República, una vez muerto J.V. Gómez. Dos o tres exigencias sobresalían: alfabetización, ampliación de la cobertura escolar y tecnificación tanto del personal docente como de los procesos administrativos y construcción de edificaciones escolares. Cosa que se hizo aún en el período 1952 1958, con Pérez Jiménez. Semejante al título de una obra de Luis Beltrán Prieto Figueroa, se debía pasar de una "Educación de castas a una educación de masas", ello bajo los postulados del humanismo democrático y el impulso del Estado-docente, en el contexto de la transición de una dictadura de más de 27 años a una democracia y donde los actores políticos se enfrentaban con propuestas diferentes. Semejante polémica la recoge Arturo Uslar Pietri en el libro "De una a otra Venezuela", en particular en su ensayo "Responso por la educación venezolana" contradice la postura de Prieto Figueroa sobre la educación de las masas y el Estado- docente, señalando la necesidad de formar una élite ilustrada; la cual conduciría los destinos de la nación bajo principios liberales y democráticos, no marxista ni militarista, sino bajo los criterios de la ciencia y la técnica moderna.
La reinstalación, por así decir, del modelo de democracia representativa en
1958, con Rómulo Betancourt como magistrado electo y la hegemonía de su partido Acción Democrática, trajo como resultado la implantación de la tesis figueroista, la cual ya había sido recogida en la Constitución Nacional producto de la Asamblea Nacional Constituyente de 1947 y la Ley de Educación de 1940, todo lo cual se amplía en la Carta Magna de 1961 y la Ley Orgánica de Educación de 1980. Pero en ese sentido conviene aclarar que en el régimen democrático, que con sus rupturas se mantiene hasta hoy, ha desarrollado diversas políticas públicas de educación que sería prolijo enumerar. Tienen de común la finalidad de formar integralmente a la persona para vivir en una sociedad democrática y plural, donde la ciencia y la técnica contribuyan al desarrollo humano.
Sin embargo, se evidencia déficit en cuanto a cobertura, calidad y pertinencia de los contenidos educativos, junto a un modelo de sociedad agotado.
Los resultados, para el momento actual, de la nueva política educativa del llamado "Proyecto Bolivariano": Plan Simoncito, Escuela Bolivariana, Escuelas Técnicas Robinsonianas, Liceo Bolivariano, las Misiones y Universidad Bolivariana, aún no se evalúan cabalmente. Un problema típico de la historia actual, como diría
Agustín Blanco Muñoz. Como establece, la Constitución de 1999 garantiza (Art. 102) una educación gratuita y de calidad para todos, fundamentada en la valoración ética del trabajo; bajo la corriente del constructivismo y la reivindicación de las culturas ancestrales y tradicionales. Contrario a los anteriores proyectos educativos donde se asumía el conductismo y la tecnocracia.
Se concluye entonces que la educación posee un innegable componente político, sociológico y pedagógico que expresa el pensamiento de la época y el estado del conocimiento como interpretación de la realidad. Igualmente es de fuerza decir que en la democracia la educación formal propicia la movilidad social, evita los privilegios y cualquier discriminación. Resalta en cambio la dignidad humana, siendo la educación un derecho natural irrenunciable, algo que caracteriza la actual época.
Evolución de la Educación Venezolana
ETAPAS ORIGEN FUNDAMENTOS RESULTADOS
1ra Aborigen
- Se origina en la relación indiferenciada de oficios, artes y prácticas de producción material y espiritual en comunidad y familias de filiación étnica, lingüística y sociocultural.
- Se fundamenta en las tradiciones ancestrales y la oralidad.
- Prestigio del oficiante como el piache, madre o cacique.
- En el derecho consuetudinario, códigos y simbología etnográficos.
- Técnicas de cultivo, pesca, recolección, construcción de obras y transporte fluvial.
- Cestería.
- Alfarería.
- Literatura aborigen (cuento y poesía).
- Sistema de creencias de ultratumba y organización social.
2da Era Colonial
- En el siglo XVI hasta las primeras décadas del siglo XIX.
- Humanismo clásico.
- Escolasticismo.
- Liberalismo.
- Fundación de las primeras escuelas, colegios y universidades de La provincia venezolana.
Resultado directo o indirecto de tal influencia y su actitud cultural abierta a la filosofía y a la ciencia, surge una corriente pedagógica representada en Don Simón Rodríguez,
Lic. Miguel José Sanz, Don Andrés Bello, entre otros proponían un sistema educativo adaptado a Venezuela. Algunos fueron ideólogos de la independencia como Simón Bolívar y Germán Rosero.
3ra Época de la mancipación republicana
- Se inicia en la segunda mitad del siglo XIX, con sus puntos resaltantes en 1832, 1843, 1870 y la creación del Ministerio de Instrucción Pública, creación de los estatutos de los Estudios Universitarios y el
- El sistema educativo durante la era republicana (independencia) era en cierto modo una continuidad de los métodos pedagógicos coloniales, a estos
Simón Rodríguez en 1794 los sometió a crítica en una obra sobre carencias
- Mayor conciencia en la sociedad sobre la importancia de la Educación
Pública: "clave del orden armonioso y fecundo".
- Implantación de la Libertad de Enseñanza y protección de la misma por el estado.
ETAPAS ORIGEN FUNDAMENTOS RESULTADOS
Inicio de la Educación Normal y la Escuela Técnica y de Artes y Oficios.
Esta se desarrolla hasta bien entrado el siglo XX. De la escuela de primeras levas. Se introdujo el método Lankasteriano del trabajo cooperativo en el aula y la educación del trabajo, técnica y oficios.
- Organización del sistema escolar.
- Principio de universalización de la educación.
- Escuela Pública Laica o Secular.
4ta Etapa. Renovación de la educación
- Comprendida entre los años 1914 - 15 hasta 1936. Se implanta nuevos planes de estudio, método y orientación progresista con las reformas del ministro Guevara Rojas que no tuvieron continuidad.
- Orientación progresista fundamentada en pedagogos europeos como Pestalozzi, Fróebel, Montesori, o norteamericano como Dewey.
- Al no tener continuidad las reformas, la educación devino en rutina.
5ta Etapa. Humanismo democrático y reforma educativa. - 1936-1997.
Desde 1936; otros hitos son 1940 con la Ley de Educación, 1944 con la implantación de programas de estudio, 1969 con la reforma de la escuela técnica, la Educación Básica, 1980.
- Nuevo Currículo Básico Nacional, 1997.
- Fundamentado.
- La teoría de la Escuela Nueva en particular el pragmatismo,
El reconstruccionismo y en menor medida el Humanismo de Cari Roger y el Humanismo cristiano.
- Masificación de la enseñanza, impulso a la educación técnica (1936 - 1960). Reforma de los planes de estudio (1969) transformación de la educación técnica Ciclo
Básico y Diversificado, Institutos Tecnológicos y Universidades en mayor número.
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miércoles, 12 de noviembre de 2008
fines de la administracion
FINES DE LA ADMINISTRACION
Fines u objetivos De La Administración
Alcanzar en forma eficiente y eficaz los objetivos de un organismo social.
Eficacia. Cuando la empresa alcanza sus metas
Eficiencia. Cuando logra sus objetivos con el mínimo de sus recursos.
Es permitirle a la empresa tener una perspectiva más amplia del medio en el cual se desarrolla
Asegurar que la empresa produzca o preste sus servicios.
Importancia De La Administración
La administración es un órgano social específicamente encargado de hacer que los recursos sean productivos, refleja el espíritu esencial de la era moderna, es indispensable y esto explica por que una vez creada creció con tanta rapidez y tan poca oposición.
La administración busca el logro de objetivos a través de las personas ,mediante técnicas dentro de una organización. Ella es el subsistema clave dentro de un sistema organizacional. Comprende a toda organización y es fuerza vital que enlaza todos los demás subsistemas.
Dentro de la administración encontramos:
Coordinación de recursos humanos, materiales y financieros para el logro efectivo y eficiente de los objetivos organizacionales.
Relación de la organización con su ambiente externo y respuestas a las necesidades de la sociedad.
Desempeño de ciertas funciones especificas como determinar objetivos, planear, asignar recursos, instrumentar, etc.
Desempeño de varios roles interpersonales, de información y decisión.
PRINCIPIOS DE LA ADMINISTRACION
La función administrativa solo tiene por órgano y por instrumento al cuerpo social. Mientras que las otras funciones ponen en juego la materia prima y las máquinas, la función administrativa solo obra sobre el personal.
La salud y el buen funcionamiento del cuerpo social dependen de un cierto número de condiciones, a las cuales se les da indiferentemente el nombre de principios, de leyes o de reglas.
Emplear con preferencia la palabra principios, desembarazándola de toda idea de rigidez.
No existe nada rígido ni absoluto en materia administrativa; en ella todo es cuestión de medida.
Casi nunca puede aplicarse dos veces el mismo principio en condiciones idénticas: es necesario tener en cuenta las circunstancias diversas y cambiantes, los hombres igualmente diversos y cambiantes y muchos otros elementos variables.
Además, los principios son flexibles y susceptibles de adaptarse a todas las necesidades.
La cuestión consiste en saber servirse de ellos: es éste un arte difícil que exige inteligencia, experiencia, decisión y mesura. La mesura, hecha de tacto y experiencia, es una de las principales cualidades del administrador.
El número de los principios de administración no es limitado. Toda regla, todo medio administrativo que fortifica el cuerpo social o facilita su funcionamiento toma lugar entre los principios, por todo el tiempo, al menos, en que la experiencia lo confirme en esta alta dignidad. Un cambio en el estado de cosas puede determinar el cambio de las reglas a las cuales ese estado había dado nacimiento.
A continuación mencionar algunos de los principios de administración que he tenido que aplicar con más frecuencia:
1 La división del trabajo;
2 La autoridad;
3 La disciplina;
4 La unidad de mando;
5 La unidad de dirección;
6 La subordinación de los intereses particulares al interés general;
7 La remuneración;
8 La centralización;
9 La jerarquía;
10 EI orden;
11 La equidad;
12 La estabilidad del personal;
13 La iniciativa;
14 La unión del personal.
Fines u objetivos De La Administración
Alcanzar en forma eficiente y eficaz los objetivos de un organismo social.
Eficacia. Cuando la empresa alcanza sus metas
Eficiencia. Cuando logra sus objetivos con el mínimo de sus recursos.
Es permitirle a la empresa tener una perspectiva más amplia del medio en el cual se desarrolla
Asegurar que la empresa produzca o preste sus servicios.
Importancia De La Administración
La administración es un órgano social específicamente encargado de hacer que los recursos sean productivos, refleja el espíritu esencial de la era moderna, es indispensable y esto explica por que una vez creada creció con tanta rapidez y tan poca oposición.
La administración busca el logro de objetivos a través de las personas ,mediante técnicas dentro de una organización. Ella es el subsistema clave dentro de un sistema organizacional. Comprende a toda organización y es fuerza vital que enlaza todos los demás subsistemas.
Dentro de la administración encontramos:
Coordinación de recursos humanos, materiales y financieros para el logro efectivo y eficiente de los objetivos organizacionales.
Relación de la organización con su ambiente externo y respuestas a las necesidades de la sociedad.
Desempeño de ciertas funciones especificas como determinar objetivos, planear, asignar recursos, instrumentar, etc.
Desempeño de varios roles interpersonales, de información y decisión.
PRINCIPIOS DE LA ADMINISTRACION
La función administrativa solo tiene por órgano y por instrumento al cuerpo social. Mientras que las otras funciones ponen en juego la materia prima y las máquinas, la función administrativa solo obra sobre el personal.
La salud y el buen funcionamiento del cuerpo social dependen de un cierto número de condiciones, a las cuales se les da indiferentemente el nombre de principios, de leyes o de reglas.
Emplear con preferencia la palabra principios, desembarazándola de toda idea de rigidez.
No existe nada rígido ni absoluto en materia administrativa; en ella todo es cuestión de medida.
Casi nunca puede aplicarse dos veces el mismo principio en condiciones idénticas: es necesario tener en cuenta las circunstancias diversas y cambiantes, los hombres igualmente diversos y cambiantes y muchos otros elementos variables.
Además, los principios son flexibles y susceptibles de adaptarse a todas las necesidades.
La cuestión consiste en saber servirse de ellos: es éste un arte difícil que exige inteligencia, experiencia, decisión y mesura. La mesura, hecha de tacto y experiencia, es una de las principales cualidades del administrador.
El número de los principios de administración no es limitado. Toda regla, todo medio administrativo que fortifica el cuerpo social o facilita su funcionamiento toma lugar entre los principios, por todo el tiempo, al menos, en que la experiencia lo confirme en esta alta dignidad. Un cambio en el estado de cosas puede determinar el cambio de las reglas a las cuales ese estado había dado nacimiento.
A continuación mencionar algunos de los principios de administración que he tenido que aplicar con más frecuencia:
1 La división del trabajo;
2 La autoridad;
3 La disciplina;
4 La unidad de mando;
5 La unidad de dirección;
6 La subordinación de los intereses particulares al interés general;
7 La remuneración;
8 La centralización;
9 La jerarquía;
10 EI orden;
11 La equidad;
12 La estabilidad del personal;
13 La iniciativa;
14 La unión del personal.
Numeros Naturales,Enteros,Racionales,Irracionales,Reales,Mixtos,Propiedades
NUMEROS NATURALES:
Los números naturales son aquellos que normalmente utilizamos para contar. Son aquellos números positivos y sin parte decimal.
N= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7...}
NUMEROS ENTEROS:
Son todos los números naturales y sus opuestos, es decir, los números enteros positivos y negativos.
Z = {1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4...}
NUMEROS RACIONALES:
Son todos aquellos que se pueden escribir en forma de fracción. Incluyen los naturales, enteros.
NUMEROS IRRACIONALES:
Son los números que poseen infinitas cifras decimales.
NUMEROS REALES:
Incluyen todos los números anteriormente descritos. Cubren la recta real y cualquier punto de esta es un número real. Estos números, por ser los más importantes, son los que mas veremos. Para verlos más ampliamente,
NUMEROS NATURALES
¿Que son los Números Naturales?
Número natural, el que sirve para designar la cantidad de elementos que tiene un cierto conjunto, y se llama cardinal de dicho conjunto.
Los números naturales son infinitos. El conjunto de todos ellos se designa por N:
N = {0, 1, 2, 3, 4,…, 10, 11, 12,…}
El cero, a veces, se excluye del conjunto de los números naturales.
Además de cardinales (para contar), los números naturales son ordinales, pues sirven para ordenar los elementos de un conjunto:
1º (primero), 2º (segundo),…, 16º (decimosexto),…
Los números naturales son los primeros que surgen en las distintas civilizaciones, ya que las tareas de contar y de ordenar son las más elementales que se pueden realizar en el tratamiento de las cantidades.
Entre los números naturales están definidas las operaciones adición y multiplicación. Además, el resultado de sumar o de multiplicar dos números naturales es también un número natural, por lo que se dice que son operaciones internas.
La sustracción, sin embargo, no es una operación interna en N, pues la diferencia de dos números naturales puede no ser un número natural (no lo es cuando el sustraendo es mayor que el minuendo). Por eso se crea el conjunto Z de los números enteros, en el que se puede restar un número de otro, cualesquiera que sean éstos.
La división tampoco es una operación interna en N, pues el cociente de dos números naturales puede no ser un número natural (no lo es cuando el dividendo no es múltiplo del divisor). Por eso se crea el conjunto Q de los números racionales, en el que se puede dividir cualquier número por otro (salvo por el cero). La división entera es un tipo de división peculiar de los números naturales en la que además de un cociente se obtiene un resto
PROPIEDADES DE LA ADICION DE NUMEROS NATURALES
La adición de números naturales cumple las propiedades asociativa, conmutativa y elemento neutro.
1.- Asociativa:
Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que:
(a + b) + c = a + (b + c)
Por ejemplo:
(7 + 4) + 5 = 11 + 5 = 16
7 + (4 + 5) = 7 + 9 = 16
Los resultados coinciden, es decir,
(7 + 4) + 5 = 7 + (4 + 5)
2.-Conmutativa
Si a, b son números naturales cualesquiera se cumple que:
a + b = b + a
En particular, para los números 7 y 4, se verifica que:
7 + 4 = 4 + 7
Gracias a las propiedades asociativa y conmutativa de la adición se pueden efectuar largas sumas de números naturales sin utilizar paréntesis y sin tener en cuenta el orden.
3.- Elemento neutro
El 0 es el elemento neutro de la suma de enteros porque, cualquiera que sea el número natural a, se cumple que:
a + 0 = a
Propiedades de la Multiplicación de Números Naturales
La multiplicación de números naturales cumple las propiedades asociativa, conmutativa, elemento neutro y distributivo del producto respecto de la suma.
1.-Asociativa
Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que:
(a • b) • c = a • (b • c)
Por ejemplo:
(3 • 5) • 2 = 15 • 2 = 30
3 • (5 • 2) = 3 • 10 = 30
Los resultados coinciden, es decir,
(3 • 5) • 2 = 3 • (5 • 2)
2.- Conmutativa
Si a, b son números naturales cualesquiera se cumple que:
a • b = b • a
Por ejemplo:
5 • 8 = 8 • 5 = 40
3.-Elemento neutro
El 1 es el elemento neutro de la multiplicación porque, cualquiera que sea el número natural a, se cumple que:
a • 1 = a
4.- Distributiva del producto respecto de la suma
Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que:
a • (b + c) = a • b + a • c
Por ejemplo:
5 • (3 + 8) = 5 • 11 = 55
5 • 3 + 5 • 8 = 15 + 40 = 55
Los resultados coinciden, es decir,
5 • (3 + 8) = 5 • 3 + 5 • 8
Propiedades de la Sustracción de Números Naturales
Igual que la suma la resta es una operación que se deriva de la operación de contar.
Si tenemos 6 ovejas y los lobos se comen 2 ovejas ¿cuantas ovejas tenemos?. Una forma de hacerlo sería volver a contar todas las ovejas, pero alguien que hubiese contado varias veces el mismo caso, recordaría el resultado y no necesitaría volver a contar las ovejas. Sabría que 6 - 2 = 4.
Los términos de la resta se llaman minuendo (las ovejas que tenemos) y sustraendo (las ovejas que se comieron los lobos).
Propiedades de la resta:
La resta no tiene la propiedad conmutativa (no es lo mismo a - b que b - a)
Propiedades de la División de Números Naturales
La división es la operación que tenemos que hacer para repartir un número de cosas entre un número de personas.
Los términos de la división se llaman dividendo (el número de cosas), divisor (el número de personas), cociente (el numero que le corresponde a cada persona) y resto (lo que sobra).
Si el resto es cero la división se llama exacta y en caso contrario inexacta.
Propiedades de la división
La división no tiene la propiedad conmutativa. No es lo mismo a/b que b/a.
NUMEROS ENTEROS
Números Enteros Positivos y Negativos
a) Números Enteros Positivos:
Se llaman así a todos los números que representen una cantidad. Los números naturales son los enteros positivos, con la única diferencia que a la hora de representar un entero positivo podemos anteponerle el signo +.
El número 8 es un entero positivo, puedo representarlo como 8 o como +8
El número 24 es un entero positivo, puedo representarlo como 24 o como +24
Los números 11, +32, +7, 35 son todos enteros positivos (no es necesario anteponer +).
b) Números Enteros Negativos:
Los enteros negativos representan una cantidad en contra o algo que no tenemos y necesariamente debemos anteponerle el signo -.
El número -8 es un entero negativo. El número -24 es un entero negativo.
Los números -11, -32, -7, -35 son todos enteros negativos y por ello llevaran necesariamente el signo -.
c) Valor Absoluto:
El valor absoluto será la distancia que haya entre determinado número al origen de la recta numérica. En la práctica el valor absoluto es simplemente el número que tenemos, sin importar el signo positivo o negativo.
Para hallar el valor absoluto de -33: |-33| = 33
Para hallar el valor absoluto de +15: |+15| = 15
Comparación de Números Enteros
Para comparar números enteros debemos tener en cuenta que:
a) Cualquier número positivo es mayor que cualquier número negativo.
Por ejemplo: 4 es mayor que -1, ya que 4 es un entero positivo y -1 es un entero negativo. +3 es mayor que -18, ya que +3 es un entero positivo y -18 es un entero negativo.
b) Entre números positivos será mayor el que represente mayor cantidad.
Por ejemplo: +5 es mayor que +3, ya que 5 representa mayor cantidad que 3.16 es mayor que 8, ya que 16 representa mayor cantidad que 8.+13 es mayor que +12, ya que 13 representa mayor cantidad que 12.
c) Entre números negativos será mayor el que represente menor cantidad.
Por ejemplo: -2 es mayor que -5, ya que 2 representa menor cantidad que 5.-11 es mayor que -13, ya que 11 representa menor cantidad que 13
Adición y Sustracción de Números Enteros
Tendremos dos posibilidades, las cuales son:
a) Si tenemos números de igual signo:
Cuando tengamos dos o más números de igual signo, lo que tendremos que hacer es sumar las cantidades y al resultado anteponerle el mismo signo.
Observemos el siguiente caso: 35 +46 +11
35 +46 +11 En esta operación tenemos tres números positivos: +35, +46 y +11
35 +46 +11 Entonces lo que debemos hacer es sumar los tres números, nos dará: 92
+92 = 92 El resultado también será positivo.
Otro ejemplo podría ser: -12 -28 -21
-12 -28 -21 En esta operación tenemos tres números negativos: -12, -28 y -21-12 -28 -21 Entonces lo que debemos hacer es sumar los tres números, nos dará: 61
-61 El resultado también será negativo, necesariamente le antepondremos -.
b) Si tenemos números de signos diferentes:
Si tenemos números de diferentes signos, restamos el número mayor menos el número menor y el resultado llevara el signo del número mayor.
Veamos: 35 -46
35 -46 En esta operación tenemos un número positivo y otro negativo.
35 -46 El mayor es 46 y el menor 35, entonces: 46 - 35 = 11
-11 Como el número mayor es 46, y este es negativo, el resultado será también negativo.
Otro ejemplo: -12 +28
-12 +28 En esta operación tenemos un número negativo y otro positivo.
-12 +28 El mayor es 28 y el menor 12, entonces: 28 -12 = 16
+16 = 16 Como el número mayor es 28, y este es positivo, el resultado será también positivo
Multiplicación de Números Enteros
Cuando tengamos que multiplicar dos o más números enteros, lo primero que debemos hacer es proceder a multiplicar los números sin importarnos el signo que estos tengan. Una vez que hemos hallado el resultado, recién colocaremos el signo que corresponda de acuerdo a la siguiente Ley de Signos:
(+) x (+) = (+) El resultado de multiplicar dos números positivos es un número positivo
(+) x (-) = (-) El resultado de multiplicar un número positivo por otro negativo es un número negativo
(-) x (+) = (-) El resultado de multiplicar un número negativo por otro positivo es un número negativo
(-) x (-) = (+) El resultado de multiplicar dos números negativos es un número positivo
Por ejemplo, queremos multiplicar -20 x 5
-20 x 5 Recordemos que cuando un número no lleva signo, es positivo.
-20 x + 5 En esta operación 20 es un número negativo y 5 es un número positivo.
20 x 5 = 100 Nos olvidamos momentáneamente de los signos y hacemos 20 x 5 = 100
-20 x 5 = -100 Como tenemos un número negativo y otro positivo, el resultado será número negativo
Debemos emplear el mismo procedimiento para cualquier caso de multiplicación de números enteros o con signo que se nos presente.
Potenciación y radicación
Un error frecuente que se comete al trabajar con potencias de números es no tener en cuenta el uso de los paréntesis. Por ejemplo, no es lo mismo (-3) 2 que -32.
En efecto, en (-3)2, el exponente 2 afecta al signo y al número; es decir:
(-3)2=(-3)•(-3)=9
En cambio, en -32, el exponente 2 sólo está afectando al número 3; es decir:
-32 = -(3•3) = 9
La potenciación NO es distributiva respecto a la suma ni a la resta; es decir:
(a+b-c)m = am + bm - cm
• En los ejercicios donde aparecen combinadas la suma. la resta. la multiplicación, la división, la potenciación y la radicación se procede así:
1. Si hay signos de agrupación se desarrollan las operaciones contenidas en los signos de agrupación más internos; es decir, trabajando de adentro hacia afuera.
2. Si no hay signos de agrupación o estos ya fueron eliminados, se desarrollan primero las operaciones de potenciación y radicación, luego los de multiplicación y división y, finalmente, las de suma y resta. En cada caso tiene preferencia la operación situada más a la izquierda.
Ejemplo:
NUMEROS RACIONALES
Llamamos números racionales al conjunto formado por todos los números enteros y todos los fraccionarios se los designan por Q y se lo denomina conjunto de los números racionales
Número racional es el que se puede expresar como cociente de dos números enteros, es decir, en forma de fracción. Los números enteros son racionales, pues se pueden expresar como cociente de ellos mismos por la unidad: a = a/1.
Los números racionales no enteros se llaman fraccionarios. El conjunto de todos los números racionales se designa por Q.
Así como en el conjunto Z de los números enteros cada número tiene un siguiente (el siguiente al 7 es el 8, el siguiente al -5 es el -4), no pasa lo mismo con los racionales, pues entre cada dos números racionales existen infinitos números.
Q= {m/n, m Z, n Z, n =0}
Los números racionales pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse y el resultado es un número racional.
Los números racionales sirven para expresar medidas, ya que al comparar una cantidad con su unidad el resultado es, frecuentemente, fraccionario. Al expresar un número racional, no entero, en forma decimal se obtiene un número decimal exacto o bien un número decimal periódico.
Si la fracción es irreducible y en la descomposición factorial del denominador sólo se encuentran los factores 2 y 5, entonces la fracción es igual a un número decimal exacto, pero si en el denominador hay algún factor distinto de 2 o 5 la expresión decimal es periódica; por ejemplo:
Comparación:
Toda fracción positiva es mayor que cualquier fracción negativa. Si las fracciones tienen igual denominador será mayor aquella cuyo numerador sea mayor. Si tienen distinto denominador se comparan las fracciones equivalentes a las dadas con igual denominador.
Suma y Resta de Números Racionales
La suma de dos números racionales es otro número racional. Cumple las siguientes propiedades:
Asociativa:
(a + b) + c = a + (b + c)
Conmutativa:
a + b = b + a
Elemento neutro:
El cero es un número racional que hace de elemento neutro en la suma,
a + 0 = a
Elemento opuesto:
El opuesto de un número racional a, es otro número racional –a,
a + (-a) = 0
Sumar y restar fracciones con igual denominador es muy sencillo. El resultado tendrá por numerador a la suma o resta de los numeradores y el denominador será el mismo. Si las fracciones no tienen el mismo denominador, se sustituyen por fracciones equivalentes con igual denominador (determinamos un denominador común). Luego se opera de la misma manera que en el cálculo anterior.
PRODUCTO DE NÚMEROS RACIONALES
El producto de dos números racionales es otro número racional. Cumple las siguientes propiedades:
Asociativa:
(a • b) • c = a • (b • c)
Conmutativa:
a • b = b • a
Elemento neutro:
El 1 es un número racional que hace de elemento neutro del producto,
a • 1 = a
Elemento inverso:
El inverso de un número racional a ≠ 0 es otro número racional
que multiplicado por a da 1:
Distributiva respecto a la suma:
a • (b + c) = a • b + a • c
COCIENTE
El cociente de dos números fraccionarios es igual al producto entre el dividendo y el inverso del divisor.
Ejemplo:
-2/5 : 4/3 = -2/5 * ¾ = -6/20 = -3/10
SIMPLIFICACIÓN
Simplificar una fracción es sustituirla por la fracción equivalente cuyo denominador es el menor posible.
Racionalización de Denominadores
Las expresiones
Tienen el denominador irracional. Con frecuencia es conveniente transformarlas en otras expresiones equivalentes que tengan el denominador racional, con lo que se dice que se les ha racionalizado el denominador. Para ello se siguen distintas estrategias:
En los dos ejemplos anteriores se ha multiplicado un denominador del tipo por otro radical del mismo índice, , y tal que el producto de sus bases am, ap, sea una potencia de an. En consecuencia, ha habido que multiplicar el numerador por la misma expresión.
En los dos ejemplos anteriores se ha utilizado la identidad (a + b)(a – b) = a2 – b2 para hacer desaparecer las raíces cuadradas del denominador multiplicándolo por la expresión correspondiente que, por tanto, también ha multiplicado al numerador.
Expresión Decimal de los Números Racionales
Si queremos escribir un número fraccionario en forma decimal, bastará con dividir el numerador por el denominador.
Ejemplo:
7/2 = 3.5
Números Irracionales:
Al resolver una raíz cuadrada inexacta, como por ejemplo √2, encontraremos una respuesta decimal
1,4142135623730950488016......
Que como vemos será infinita y en la cual no encontramos ninguna relación ni periodo definido. Este tipo de números son conocidos como Números Irracionales.
Es mucho mas sencillo decir simplemente √2, que decir todo el número decimal, es más, es más exacto y preciso decir √2 que decir todo el número decimal (finalmente este decimal no será más que una aproximación).
Adición y Sustracción de Irracionales
Podemos sumar y restar números irracionales solamente cuando el radical que tengamos sea el mismo en los términos que me dispongo a sumar y restar. Lo explicaremos mejor mediante ejemplos:
Ejemplo1:
3√2 +5√2 - √2 En este caso se me pide realizar una operación combinada de suma y resta 3√2 +5√2 - √2
Podremos sumar y restar ya que todos los términos tienen √2
Ejemplo2:
3√3 +5√2 - √5 Acá también se me pide realizar una operación combinada de suma y resta
3√3 +5√2 - √5 Sin embargo no será posible porque los tres radicales son diferentes.
Pero, ¿cómo puedo realizar estas operaciones?
Volvamos al Ejemplo 1:
3√2 +5√2 - √2 Ya sabemos que podremos sumarlo y restarlo sin ningún problema.
3√2 +5√2 - 1√2 Debemos saber que cuando tengamos el radical solo siempre habrá un "1"
3√2 +5√2 - 1√2 Para resolver este ejercicio bastara con sumar los números fuera de los radicales.
3√2 +5√2 - 1√2 Tendré que resolver 3 + 5 - 1 = 7 y la parte radical no cambiara.
3√2 +5√2 - 1√2 = 7√2
Veamos ahora otro ejemplo:
4√7 -2√7 + √7 Como todos los términos tienen √7 podré sumar y/o restar sin problema
4√7 -2√7 + 1√7 Hemos añadido un "1" donde no había numero con el radical.4√7 -2√7 + 1√7 = 3√7
Multiplicación de Irracionales
Existe una propiedad de los números irracionales, y en general de los radicales, que nos dice:
n√a.b = n√a n√b (y viceversa)
Esto significa que si tengo dos números multiplicándose dentro de una raíz, puedo extraer la raíz de cada uno de ellos y luego multiplicarlos; o también que si tengo dos raíces de igual grado multiplicándose puedo multiplicar los números y obtener la raíz después.
Ejemplo 1:
√9.4 = √9. √4 = 3. 2 = 6 =>
Primero tenia dentro de la raíz cuadrada 9x4, entonces saque raíz cuadrada a cada uno de los números para finalmente multiplicarlos.
Ejemplo 1:
√12.3 = √12. √3 = √36 = 6 =>
En este caso no me convenía hacer lo del ejemplo anterior, por eso multiplique 12x3 primero y luego saque la raíz cuadrada a este resultado.
División de Irracionales
La propiedad nos dice que:
n√a ÷ n√b = n√a÷b (y viceversa)
Entonces, si tenemos raíces de grado n que se estén dividiendo, dará lo mismo si las resolvemos por separado y después las dividimos, que si primero las dividimos y luego extraemos la raíz.
Ejemplo1:
3√27 ÷ 3√8 = 3 ÷ 2 = 1,5=>
Primero hemos extraído las dos raíces cúbicas para luego dividir los resultados.
Ejemplo 2:
3√64 ÷ 3√8 = 3√64÷8 = 3√8 = 2=>
Ahora hemos resuelto primero la división de las cantidades subradicales y dejamos al último la raíz cúbica.
Potenciación de Irracionales
Lo único que debemos hacer es pasar el grado del radical a dividir al exponente. Veamos algunos ejemplos:
Ejemplo 1:
3√66 = 66/3 = 62 = 36=>
Como vemos el grado del radical (en este caso 3) pasó a dividir al exponente (en este caso 6). El resultado de esta división (para nosotros 6÷3 = 2) será el nuevo exponente para la cantidad subradical (en este caso 6). Finalmente hemos realizado la potenciación
Ejemplo 2:
(√4)6 = 46/2 = 43 = 64=>
En este caso hemos hecho lo mismo que en el caso anterior, haciendo la aclaración de que cuando un radical no tiene grado, este es 2.
Operaciones Combinadas con Radicales
En algunos casos parece que no se puede resolver una operación de suma y/o resta entre números irracionales, en estos casos dependerá de nosotros darle la forma correcta ala ejercicio.
Por ejemplo, tenemos: 3√2 + √50 - √98
Aparentemente no lo podemos resolver, todos los radicales son diferentes, pero nosotros podremos utilizar las propiedades de la multiplicación para darle la forma que nos ayude a resolverlo.
√50 la podemos escribir
Como √25.2 porque 25. 2 = 50.
Resolveremos la parte que tiene raíz cuadrada exacta, es decir,
√25 = 5
La parte que no tiene raíz cuadrada exacta la dejamos igual: √2
Finalmente nos quedara que: √50 = √25.2 = √25 √2 = 5√2
Lo mismo hacemos para √98:
√98 = √49.2 = √49 √2 = 7√2
Reemplazamos los valores obtenidos:
3√2 + √50 - √98
3√2 + 5√2 - 7√2
3√2 + 5√2 - 7√2 = 1√2
El número "1" que nos queda podemos colocarlo o no según nuestra conveniencia.
¿Qué son las fracciones?
Se llaman así a todos los números que representen una cantidad inexacta, por lo general vienen de una división inexacta. Por ejemplo:
8 ÷ 5 El resultado de esta división será inexacto (cociente 1 y residuo 3)
8 ÷ 5 = 8
5
El resultado de esta división inexacta lo podemos representar como un número fraccionario
Ahora, este número fraccionario, o simplemente fracción tendrá sus partes definidas: 8 ~> es el numerador 5 ~> es el denominador
Además cabe resaltar que la raya o división central representa el operador matemático de división.
b) Números Mixtos:
Cuando el numerador sea mayor que el denominador, tendremos la posibilidad de representar la fracción como número mixto, es decir, una parte entera y otra parte fraccionaria. Veamos nuevamente nuestro caso:
8 ÷ 5 El resultado de esta división será inexacto (cociente 1 y residuo 3)
8 ÷ 5 = 8
5
c) Fracciones Equivalentes:
Hablamos de fracciones equivalentes cuando tenemos fracciones que valen exactamente lo mismo aunque se escriban de diferente manera. Existen básicamente dos formas de hallar fracciones equivalentes y son por simplificación y por ampliación.
En este primer ejemplo veremos una simplificación:
4
6
En esta fracción podemos observar que tanto el número 4 como el número 6 son divisibles entre 2.
4 ~> ÷2 ~> 2
6 ~> ÷2 ~> 3
Entonces dividimos a ambos números entre 2 (siempre debemos dividir a ambos entre el mismo número) y hallamos su equivalente.
Es muy recomendable simplificar siempre las fracciones para tener una mejor presentación.
Pero ahora veamos un ejemplo de ampliación:
3
4 En esta fracción no se puede simplificar, pero si se podrá ampliar de acuerdo a lo que nos convenga.
3 ~> x3 ~> 9
4 ~> x3 ~> 12 Podemos multiplicar a ambos números por un mismo número (por ejemplo 3) y hallamos una fracción equivalente.
Comparación de Números Fraccionarios
En el caso ideal de comparación se tienen fracciones de igual denominador, entonces la de mayor numerador será la mayor. Por ejemplo:
4 y 5 la mayor de ellas es 5 porque tiene igual denominador pero mayor numerador.7 7 7
Pero por lo general nos encontraremos con fracciones de diferentes denominadores, entonces tendremos que hacer un par de multiplicaciones para determinar cual es mayor, cual es menor, o si son iguales:
3 y 5
4 6
En este caso nosotros debemos determinar cual de estas fracciones representa mayor cantidad.
3 y 5
4 6
Multiplicaremos en forma cruzada los numeradores con los denominadores.
Así tendremos: 3 x 6 = 18 y 5 x 4 = 20
3 y 5
4 6
18 <20 Vemos que he colocado los resultados abajo de las fracciones y los he comparado. En este caso en particular resulta que el número 20 es mayor que el número 18
3 < 5
4 6
18 <20 Entonces lo mismo se repetirá en la fracción y 5 es mayor que 6/4
Adición y Sustracción de Números Fraccionarios
Utilizando un algoritmo sencillo podemos aprender a sumar fracciones mentalmente.
Veamos: Sean a /b y c/d dos fracciones cualesquiera. Si las deseamos sumar podemos seguir la siguiente regla:
a + c = ad + bc (se multiplica cruzado y los productos de suman)
b d bd (se multiplican los denominadores)
Veamos un ejemplo:
El jefe de Cheo repartió los trabajos de contabilidad de urgencia entre algunos de los contables. A Cheo le tocó una cuarta parte (1/4) de los trabajos de urgencia más la tercera (1/3) parte del trabajo que le iba a tocar al empleado que faltó. En total, ¿que parte del trabajo tiene que realizar Cheo?
1 + 1 = 1(3) + 4(1) = 3 + 4 = 7
4 3 (4)(3) 12 12
Solución: Cheo tuvo que realizar 7/12 del trabajo.
Notita para darle pensamiento: (para darle "coco")
¿A Cheo le tocó más de la mitad del trabajo o menos de la mitad del trabajo?
Solución:
Para comparar fracciones utilizamos las siguientes reglas de las proporciones
a. Si a = c entonces ad = cb
b d
b. Si a < c entonces ad < cb
b d
c. Si a > c entonces ad > cb
b d
Volviendo a Cheo, ¿7/12 es menor o mayor que 1/2 ?
7 ? 1 7(2) > 12(1), por lo tanto 7 > 1
12 2 12 2
De modo que Cheo realizó más de la mitad del trabajo.
Veamos otro ejemplo:
A María le tocaba una tercera parte de la herencia de su padre. Su madre le cedió a ella dos quintas partes adicionales que le tocaban a ella. ¿En total qué parte de la herencia la tocó a María?
Solución
1 + 2 = 1(5) + 3(2) = 5 + 6 = 11
3 5 15 15 15
A María le tocó 11/ 15 de la herencia de su padre.
Suma de Fracciones:
Para sumar dos fracciones, hay que tener en cuenta de que existen 2 tipos de fracciones:
1. Fracciones homogéneas (1, 3, 5) 4 4 4
2. Fracciones heterogéneas (1, 2, 3) 3 5 7
Las fracciones homogéneas son las fracciones que tienen el mismo denominador; y las fracciones heterogéneas son las fracciones que tienen diferentes denominadores.
Ejemplo de suma de fracciones homogéneas:
1 + 3 = 4
5 5 5
2 + 3 = 5
7 7 7
Ejemplo de suma de fracciones heterogéneas:
1 + 1
4 2
diferentes.>
Para sumar fracciones heterogéneas:
1. Se multiplican los denominadores.
2. Se multiplica cruzado y se coloca en el numerador.
3. Se suman los productos para obtener el numerador.
1 + 1
4 2
Paso 1 : 1 + 1 =
4 • 2 } =8>
Paso 2 : 1 + 1 = (2 •1) + (4 • 1) < Se multiplicó cruzado>
4 2 8
Paso 3: 2 + 4 = 6 < Se suman los productos para obtener el 8 8 numerador.>
Paso 4: 6 ÷ 2 = 3 < Se simplifica la fracción si es posible.>
8 2 4
Resta de Fracciones
En la resta de fracciones, se utilizan las mismas reglas de la suma de fracciones; pero en este caso hay que restar.
Ejemplo 1:
5 - 1 = 4 Resta de Fracciones Homogéneas
9 9 9
Ejemplo 2:
2 - 1 = ( 2 • 2) - (3 • 1) = 4 - 3 = 1
3 2 6 6 6
Multiplicación de Números Fraccionarios
Cuando tengamos que multiplicar dos o más números fraccionarios, simplemente debemos multiplicar todos los numeradores y todos los denominadores.
Si por ejemplo tenemos:
2 x 3 x 5 tendremos que multiplicar: 2 x 3 x 5 = 30
5 4 3 5 x 4 x 3 60
Claro que aun podríamos simplificar:
30 = 1
(hemos dividido, tanto al numerador como al denominador entre 30)
60 2
Pero para ahorrarnos la simplificación, podríamos ir simplificando antes de multiplicar, ya que podemos simplificar cualquier numerador con cualquier denominador:
2 x 3 x 5
5 4 3 Esta es la operación original
2 x 3 x 5
5 4 3 Puedo simplificar el numerador 2 con el denominador 4, para ello divido a ambos entre 2.
1 x 3 x 5
5 2 3 Ahora simplifico el numerador 3 con el denominador 3, para ello divido a ambos entre 3.
1 x 1 x 5
5 2 1 Finalmente podemos simplificar el numerador 5 con el denominador 5, para ello dividimos a ambos entre 5.
1 x 1 x 1 = 1
1 2 1 2 Resolvemos la multiplicación (multiplicamos todos los numeradores y todos los denominadores) y llegamos a la misma respuesta simplificada
División de Números Fraccionarios
Cuando tengamos que dividir números fraccionarios en realidad lo que se nos pide es hacer una multiplicación cruzada. Por ejemplo:
2 ÷ 3 = 8
5 4 =15
(Hemos multiplicado 2 x 4 para hallar el numerador 8)
(Hemos multiplicado 5 x 3 para hallar el denominador 15)
También podemos convertir la división a multiplicación, para esto cada vez que veamos una operador ÷ lo podremos reemplazar por un operador x siempre y cuando invirtamos la fracción que viene después del operador. Veamos el ejemplo anterior:
2 ÷ 3 = 2 x 4 = 8
5 4 5 3 15
(Hemos cambiado el operador ÷ por el operador x, y además
hemos invertido la fracción que venia después del ÷)
Lo más recomendable es llevarlo a multiplicación ya que así la operación la podemos hacer directamente sin importar la cantidad de fracciones que tengamos y además podemos simplificar antes de multiplicar. Por ejemplo:
4 ÷ 3 ÷ 2 ÷ 1
5 2 5 3
(Si la queremos resolver por multiplicación cruzada lo tendremos
que hacer de dos en dos y además no puedo simplificar antes)
4 x 2 x 5 x 3
5 3 2 1
(Ahora lo he convertido a multiplicación, puedo resolver todo
directamente y además podemos simplificar antes)
Solamente podemos simplificar antes de operar en la multiplicación
Potenciación de Números Fraccionarios
En la potenciación de números fraccionarios, o simplemente fracciones, tendremos que observar una condición y esta es que la fracción debe estar entre paréntesis para que la potencia la afecte a toda ella.
Si por ejemplo tenemos:
(4)3 = 43 = 4 x 4 x 4 = 64
3 33 3 x 3 x 3 27
Pero si lo tenemos sin paréntesis:
43 = 43 = 4 x 4 x 4 = 64
3 3 3 3
En los dos ejemplos anteriores observamos claramente el efecto del paréntesis y la necesidad de su empleo en la potenciación de fracciones.
Radicación de Números Fraccionarios
En este caso el radical afectara tanto al numerador como al denominador. Por ejemplo:3√8 = 3√8 = 2
(Porque 2 x 2 x 2 = 8) 27 3√27 3 (porque 3 x 3 x 3 = 27
LOS NÚMEROS COMPLEJOS
Cuando se estudió la solución de la ecuación de segundo grado se analizó el signo del discriminante y su relación con las soluciones. Si el discriminante era negativo se dijo que la ecuación no tenía raíces reales sino que las raíces eran imaginarias o complejas. Vamos ahora a estudiar los números complejos que nos darán la idea completa de la solución de la ecuación de segundo grado y una extensión de los conjuntos numéricos. Realizaremos lo que se llama la definición axiomática del conjunto de los números complejos.
Sección 1
Definición y operaciones en el conjunto de los números complejos.
Definición. Llamamos conjunto de los números complejos y lo denotamos con la letra al conjunto de los pares de números reales en el cual definimos las siguientes operaciones:
Suma.
Multiplicación.
En el número complejo llamaremos a la parte real y a la parte imaginaria. Note que la suma y producto de pares no está definida en .
Dos propiedades que cumplen los pares de números reales y que se mantienen para los complejos son:
Igualdad.
Multiplicación por un escalar.
Los números naturales son aquellos que normalmente utilizamos para contar. Son aquellos números positivos y sin parte decimal.
N= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7...}
NUMEROS ENTEROS:
Son todos los números naturales y sus opuestos, es decir, los números enteros positivos y negativos.
Z = {1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4...}
NUMEROS RACIONALES:
Son todos aquellos que se pueden escribir en forma de fracción. Incluyen los naturales, enteros.
NUMEROS IRRACIONALES:
Son los números que poseen infinitas cifras decimales.
NUMEROS REALES:
Incluyen todos los números anteriormente descritos. Cubren la recta real y cualquier punto de esta es un número real. Estos números, por ser los más importantes, son los que mas veremos. Para verlos más ampliamente,
NUMEROS NATURALES
¿Que son los Números Naturales?
Número natural, el que sirve para designar la cantidad de elementos que tiene un cierto conjunto, y se llama cardinal de dicho conjunto.
Los números naturales son infinitos. El conjunto de todos ellos se designa por N:
N = {0, 1, 2, 3, 4,…, 10, 11, 12,…}
El cero, a veces, se excluye del conjunto de los números naturales.
Además de cardinales (para contar), los números naturales son ordinales, pues sirven para ordenar los elementos de un conjunto:
1º (primero), 2º (segundo),…, 16º (decimosexto),…
Los números naturales son los primeros que surgen en las distintas civilizaciones, ya que las tareas de contar y de ordenar son las más elementales que se pueden realizar en el tratamiento de las cantidades.
Entre los números naturales están definidas las operaciones adición y multiplicación. Además, el resultado de sumar o de multiplicar dos números naturales es también un número natural, por lo que se dice que son operaciones internas.
La sustracción, sin embargo, no es una operación interna en N, pues la diferencia de dos números naturales puede no ser un número natural (no lo es cuando el sustraendo es mayor que el minuendo). Por eso se crea el conjunto Z de los números enteros, en el que se puede restar un número de otro, cualesquiera que sean éstos.
La división tampoco es una operación interna en N, pues el cociente de dos números naturales puede no ser un número natural (no lo es cuando el dividendo no es múltiplo del divisor). Por eso se crea el conjunto Q de los números racionales, en el que se puede dividir cualquier número por otro (salvo por el cero). La división entera es un tipo de división peculiar de los números naturales en la que además de un cociente se obtiene un resto
PROPIEDADES DE LA ADICION DE NUMEROS NATURALES
La adición de números naturales cumple las propiedades asociativa, conmutativa y elemento neutro.
1.- Asociativa:
Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que:
(a + b) + c = a + (b + c)
Por ejemplo:
(7 + 4) + 5 = 11 + 5 = 16
7 + (4 + 5) = 7 + 9 = 16
Los resultados coinciden, es decir,
(7 + 4) + 5 = 7 + (4 + 5)
2.-Conmutativa
Si a, b son números naturales cualesquiera se cumple que:
a + b = b + a
En particular, para los números 7 y 4, se verifica que:
7 + 4 = 4 + 7
Gracias a las propiedades asociativa y conmutativa de la adición se pueden efectuar largas sumas de números naturales sin utilizar paréntesis y sin tener en cuenta el orden.
3.- Elemento neutro
El 0 es el elemento neutro de la suma de enteros porque, cualquiera que sea el número natural a, se cumple que:
a + 0 = a
Propiedades de la Multiplicación de Números Naturales
La multiplicación de números naturales cumple las propiedades asociativa, conmutativa, elemento neutro y distributivo del producto respecto de la suma.
1.-Asociativa
Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que:
(a • b) • c = a • (b • c)
Por ejemplo:
(3 • 5) • 2 = 15 • 2 = 30
3 • (5 • 2) = 3 • 10 = 30
Los resultados coinciden, es decir,
(3 • 5) • 2 = 3 • (5 • 2)
2.- Conmutativa
Si a, b son números naturales cualesquiera se cumple que:
a • b = b • a
Por ejemplo:
5 • 8 = 8 • 5 = 40
3.-Elemento neutro
El 1 es el elemento neutro de la multiplicación porque, cualquiera que sea el número natural a, se cumple que:
a • 1 = a
4.- Distributiva del producto respecto de la suma
Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que:
a • (b + c) = a • b + a • c
Por ejemplo:
5 • (3 + 8) = 5 • 11 = 55
5 • 3 + 5 • 8 = 15 + 40 = 55
Los resultados coinciden, es decir,
5 • (3 + 8) = 5 • 3 + 5 • 8
Propiedades de la Sustracción de Números Naturales
Igual que la suma la resta es una operación que se deriva de la operación de contar.
Si tenemos 6 ovejas y los lobos se comen 2 ovejas ¿cuantas ovejas tenemos?. Una forma de hacerlo sería volver a contar todas las ovejas, pero alguien que hubiese contado varias veces el mismo caso, recordaría el resultado y no necesitaría volver a contar las ovejas. Sabría que 6 - 2 = 4.
Los términos de la resta se llaman minuendo (las ovejas que tenemos) y sustraendo (las ovejas que se comieron los lobos).
Propiedades de la resta:
La resta no tiene la propiedad conmutativa (no es lo mismo a - b que b - a)
Propiedades de la División de Números Naturales
La división es la operación que tenemos que hacer para repartir un número de cosas entre un número de personas.
Los términos de la división se llaman dividendo (el número de cosas), divisor (el número de personas), cociente (el numero que le corresponde a cada persona) y resto (lo que sobra).
Si el resto es cero la división se llama exacta y en caso contrario inexacta.
Propiedades de la división
La división no tiene la propiedad conmutativa. No es lo mismo a/b que b/a.
NUMEROS ENTEROS
Números Enteros Positivos y Negativos
a) Números Enteros Positivos:
Se llaman así a todos los números que representen una cantidad. Los números naturales son los enteros positivos, con la única diferencia que a la hora de representar un entero positivo podemos anteponerle el signo +.
El número 8 es un entero positivo, puedo representarlo como 8 o como +8
El número 24 es un entero positivo, puedo representarlo como 24 o como +24
Los números 11, +32, +7, 35 son todos enteros positivos (no es necesario anteponer +).
b) Números Enteros Negativos:
Los enteros negativos representan una cantidad en contra o algo que no tenemos y necesariamente debemos anteponerle el signo -.
El número -8 es un entero negativo. El número -24 es un entero negativo.
Los números -11, -32, -7, -35 son todos enteros negativos y por ello llevaran necesariamente el signo -.
c) Valor Absoluto:
El valor absoluto será la distancia que haya entre determinado número al origen de la recta numérica. En la práctica el valor absoluto es simplemente el número que tenemos, sin importar el signo positivo o negativo.
Para hallar el valor absoluto de -33: |-33| = 33
Para hallar el valor absoluto de +15: |+15| = 15
Comparación de Números Enteros
Para comparar números enteros debemos tener en cuenta que:
a) Cualquier número positivo es mayor que cualquier número negativo.
Por ejemplo: 4 es mayor que -1, ya que 4 es un entero positivo y -1 es un entero negativo. +3 es mayor que -18, ya que +3 es un entero positivo y -18 es un entero negativo.
b) Entre números positivos será mayor el que represente mayor cantidad.
Por ejemplo: +5 es mayor que +3, ya que 5 representa mayor cantidad que 3.16 es mayor que 8, ya que 16 representa mayor cantidad que 8.+13 es mayor que +12, ya que 13 representa mayor cantidad que 12.
c) Entre números negativos será mayor el que represente menor cantidad.
Por ejemplo: -2 es mayor que -5, ya que 2 representa menor cantidad que 5.-11 es mayor que -13, ya que 11 representa menor cantidad que 13
Adición y Sustracción de Números Enteros
Tendremos dos posibilidades, las cuales son:
a) Si tenemos números de igual signo:
Cuando tengamos dos o más números de igual signo, lo que tendremos que hacer es sumar las cantidades y al resultado anteponerle el mismo signo.
Observemos el siguiente caso: 35 +46 +11
35 +46 +11 En esta operación tenemos tres números positivos: +35, +46 y +11
35 +46 +11 Entonces lo que debemos hacer es sumar los tres números, nos dará: 92
+92 = 92 El resultado también será positivo.
Otro ejemplo podría ser: -12 -28 -21
-12 -28 -21 En esta operación tenemos tres números negativos: -12, -28 y -21-12 -28 -21 Entonces lo que debemos hacer es sumar los tres números, nos dará: 61
-61 El resultado también será negativo, necesariamente le antepondremos -.
b) Si tenemos números de signos diferentes:
Si tenemos números de diferentes signos, restamos el número mayor menos el número menor y el resultado llevara el signo del número mayor.
Veamos: 35 -46
35 -46 En esta operación tenemos un número positivo y otro negativo.
35 -46 El mayor es 46 y el menor 35, entonces: 46 - 35 = 11
-11 Como el número mayor es 46, y este es negativo, el resultado será también negativo.
Otro ejemplo: -12 +28
-12 +28 En esta operación tenemos un número negativo y otro positivo.
-12 +28 El mayor es 28 y el menor 12, entonces: 28 -12 = 16
+16 = 16 Como el número mayor es 28, y este es positivo, el resultado será también positivo
Multiplicación de Números Enteros
Cuando tengamos que multiplicar dos o más números enteros, lo primero que debemos hacer es proceder a multiplicar los números sin importarnos el signo que estos tengan. Una vez que hemos hallado el resultado, recién colocaremos el signo que corresponda de acuerdo a la siguiente Ley de Signos:
(+) x (+) = (+) El resultado de multiplicar dos números positivos es un número positivo
(+) x (-) = (-) El resultado de multiplicar un número positivo por otro negativo es un número negativo
(-) x (+) = (-) El resultado de multiplicar un número negativo por otro positivo es un número negativo
(-) x (-) = (+) El resultado de multiplicar dos números negativos es un número positivo
Por ejemplo, queremos multiplicar -20 x 5
-20 x 5 Recordemos que cuando un número no lleva signo, es positivo.
-20 x + 5 En esta operación 20 es un número negativo y 5 es un número positivo.
20 x 5 = 100 Nos olvidamos momentáneamente de los signos y hacemos 20 x 5 = 100
-20 x 5 = -100 Como tenemos un número negativo y otro positivo, el resultado será número negativo
Debemos emplear el mismo procedimiento para cualquier caso de multiplicación de números enteros o con signo que se nos presente.
Potenciación y radicación
Un error frecuente que se comete al trabajar con potencias de números es no tener en cuenta el uso de los paréntesis. Por ejemplo, no es lo mismo (-3) 2 que -32.
En efecto, en (-3)2, el exponente 2 afecta al signo y al número; es decir:
(-3)2=(-3)•(-3)=9
En cambio, en -32, el exponente 2 sólo está afectando al número 3; es decir:
-32 = -(3•3) = 9
La potenciación NO es distributiva respecto a la suma ni a la resta; es decir:
(a+b-c)m = am + bm - cm
• En los ejercicios donde aparecen combinadas la suma. la resta. la multiplicación, la división, la potenciación y la radicación se procede así:
1. Si hay signos de agrupación se desarrollan las operaciones contenidas en los signos de agrupación más internos; es decir, trabajando de adentro hacia afuera.
2. Si no hay signos de agrupación o estos ya fueron eliminados, se desarrollan primero las operaciones de potenciación y radicación, luego los de multiplicación y división y, finalmente, las de suma y resta. En cada caso tiene preferencia la operación situada más a la izquierda.
Ejemplo:
NUMEROS RACIONALES
Llamamos números racionales al conjunto formado por todos los números enteros y todos los fraccionarios se los designan por Q y se lo denomina conjunto de los números racionales
Número racional es el que se puede expresar como cociente de dos números enteros, es decir, en forma de fracción. Los números enteros son racionales, pues se pueden expresar como cociente de ellos mismos por la unidad: a = a/1.
Los números racionales no enteros se llaman fraccionarios. El conjunto de todos los números racionales se designa por Q.
Así como en el conjunto Z de los números enteros cada número tiene un siguiente (el siguiente al 7 es el 8, el siguiente al -5 es el -4), no pasa lo mismo con los racionales, pues entre cada dos números racionales existen infinitos números.
Q= {m/n, m Z, n Z, n =0}
Los números racionales pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse y el resultado es un número racional.
Los números racionales sirven para expresar medidas, ya que al comparar una cantidad con su unidad el resultado es, frecuentemente, fraccionario. Al expresar un número racional, no entero, en forma decimal se obtiene un número decimal exacto o bien un número decimal periódico.
Si la fracción es irreducible y en la descomposición factorial del denominador sólo se encuentran los factores 2 y 5, entonces la fracción es igual a un número decimal exacto, pero si en el denominador hay algún factor distinto de 2 o 5 la expresión decimal es periódica; por ejemplo:
Comparación:
Toda fracción positiva es mayor que cualquier fracción negativa. Si las fracciones tienen igual denominador será mayor aquella cuyo numerador sea mayor. Si tienen distinto denominador se comparan las fracciones equivalentes a las dadas con igual denominador.
Suma y Resta de Números Racionales
La suma de dos números racionales es otro número racional. Cumple las siguientes propiedades:
Asociativa:
(a + b) + c = a + (b + c)
Conmutativa:
a + b = b + a
Elemento neutro:
El cero es un número racional que hace de elemento neutro en la suma,
a + 0 = a
Elemento opuesto:
El opuesto de un número racional a, es otro número racional –a,
a + (-a) = 0
Sumar y restar fracciones con igual denominador es muy sencillo. El resultado tendrá por numerador a la suma o resta de los numeradores y el denominador será el mismo. Si las fracciones no tienen el mismo denominador, se sustituyen por fracciones equivalentes con igual denominador (determinamos un denominador común). Luego se opera de la misma manera que en el cálculo anterior.
PRODUCTO DE NÚMEROS RACIONALES
El producto de dos números racionales es otro número racional. Cumple las siguientes propiedades:
Asociativa:
(a • b) • c = a • (b • c)
Conmutativa:
a • b = b • a
Elemento neutro:
El 1 es un número racional que hace de elemento neutro del producto,
a • 1 = a
Elemento inverso:
El inverso de un número racional a ≠ 0 es otro número racional
que multiplicado por a da 1:
Distributiva respecto a la suma:
a • (b + c) = a • b + a • c
COCIENTE
El cociente de dos números fraccionarios es igual al producto entre el dividendo y el inverso del divisor.
Ejemplo:
-2/5 : 4/3 = -2/5 * ¾ = -6/20 = -3/10
SIMPLIFICACIÓN
Simplificar una fracción es sustituirla por la fracción equivalente cuyo denominador es el menor posible.
Racionalización de Denominadores
Las expresiones
Tienen el denominador irracional. Con frecuencia es conveniente transformarlas en otras expresiones equivalentes que tengan el denominador racional, con lo que se dice que se les ha racionalizado el denominador. Para ello se siguen distintas estrategias:
En los dos ejemplos anteriores se ha multiplicado un denominador del tipo por otro radical del mismo índice, , y tal que el producto de sus bases am, ap, sea una potencia de an. En consecuencia, ha habido que multiplicar el numerador por la misma expresión.
En los dos ejemplos anteriores se ha utilizado la identidad (a + b)(a – b) = a2 – b2 para hacer desaparecer las raíces cuadradas del denominador multiplicándolo por la expresión correspondiente que, por tanto, también ha multiplicado al numerador.
Expresión Decimal de los Números Racionales
Si queremos escribir un número fraccionario en forma decimal, bastará con dividir el numerador por el denominador.
Ejemplo:
7/2 = 3.5
Números Irracionales:
Al resolver una raíz cuadrada inexacta, como por ejemplo √2, encontraremos una respuesta decimal
1,4142135623730950488016......
Que como vemos será infinita y en la cual no encontramos ninguna relación ni periodo definido. Este tipo de números son conocidos como Números Irracionales.
Es mucho mas sencillo decir simplemente √2, que decir todo el número decimal, es más, es más exacto y preciso decir √2 que decir todo el número decimal (finalmente este decimal no será más que una aproximación).
Adición y Sustracción de Irracionales
Podemos sumar y restar números irracionales solamente cuando el radical que tengamos sea el mismo en los términos que me dispongo a sumar y restar. Lo explicaremos mejor mediante ejemplos:
Ejemplo1:
3√2 +5√2 - √2 En este caso se me pide realizar una operación combinada de suma y resta 3√2 +5√2 - √2
Podremos sumar y restar ya que todos los términos tienen √2
Ejemplo2:
3√3 +5√2 - √5 Acá también se me pide realizar una operación combinada de suma y resta
3√3 +5√2 - √5 Sin embargo no será posible porque los tres radicales son diferentes.
Pero, ¿cómo puedo realizar estas operaciones?
Volvamos al Ejemplo 1:
3√2 +5√2 - √2 Ya sabemos que podremos sumarlo y restarlo sin ningún problema.
3√2 +5√2 - 1√2 Debemos saber que cuando tengamos el radical solo siempre habrá un "1"
3√2 +5√2 - 1√2 Para resolver este ejercicio bastara con sumar los números fuera de los radicales.
3√2 +5√2 - 1√2 Tendré que resolver 3 + 5 - 1 = 7 y la parte radical no cambiara.
3√2 +5√2 - 1√2 = 7√2
Veamos ahora otro ejemplo:
4√7 -2√7 + √7 Como todos los términos tienen √7 podré sumar y/o restar sin problema
4√7 -2√7 + 1√7 Hemos añadido un "1" donde no había numero con el radical.4√7 -2√7 + 1√7 = 3√7
Multiplicación de Irracionales
Existe una propiedad de los números irracionales, y en general de los radicales, que nos dice:
n√a.b = n√a n√b (y viceversa)
Esto significa que si tengo dos números multiplicándose dentro de una raíz, puedo extraer la raíz de cada uno de ellos y luego multiplicarlos; o también que si tengo dos raíces de igual grado multiplicándose puedo multiplicar los números y obtener la raíz después.
Ejemplo 1:
√9.4 = √9. √4 = 3. 2 = 6 =>
Primero tenia dentro de la raíz cuadrada 9x4, entonces saque raíz cuadrada a cada uno de los números para finalmente multiplicarlos.
Ejemplo 1:
√12.3 = √12. √3 = √36 = 6 =>
En este caso no me convenía hacer lo del ejemplo anterior, por eso multiplique 12x3 primero y luego saque la raíz cuadrada a este resultado.
División de Irracionales
La propiedad nos dice que:
n√a ÷ n√b = n√a÷b (y viceversa)
Entonces, si tenemos raíces de grado n que se estén dividiendo, dará lo mismo si las resolvemos por separado y después las dividimos, que si primero las dividimos y luego extraemos la raíz.
Ejemplo1:
3√27 ÷ 3√8 = 3 ÷ 2 = 1,5=>
Primero hemos extraído las dos raíces cúbicas para luego dividir los resultados.
Ejemplo 2:
3√64 ÷ 3√8 = 3√64÷8 = 3√8 = 2=>
Ahora hemos resuelto primero la división de las cantidades subradicales y dejamos al último la raíz cúbica.
Potenciación de Irracionales
Lo único que debemos hacer es pasar el grado del radical a dividir al exponente. Veamos algunos ejemplos:
Ejemplo 1:
3√66 = 66/3 = 62 = 36=>
Como vemos el grado del radical (en este caso 3) pasó a dividir al exponente (en este caso 6). El resultado de esta división (para nosotros 6÷3 = 2) será el nuevo exponente para la cantidad subradical (en este caso 6). Finalmente hemos realizado la potenciación
Ejemplo 2:
(√4)6 = 46/2 = 43 = 64=>
En este caso hemos hecho lo mismo que en el caso anterior, haciendo la aclaración de que cuando un radical no tiene grado, este es 2.
Operaciones Combinadas con Radicales
En algunos casos parece que no se puede resolver una operación de suma y/o resta entre números irracionales, en estos casos dependerá de nosotros darle la forma correcta ala ejercicio.
Por ejemplo, tenemos: 3√2 + √50 - √98
Aparentemente no lo podemos resolver, todos los radicales son diferentes, pero nosotros podremos utilizar las propiedades de la multiplicación para darle la forma que nos ayude a resolverlo.
√50 la podemos escribir
Como √25.2 porque 25. 2 = 50.
Resolveremos la parte que tiene raíz cuadrada exacta, es decir,
√25 = 5
La parte que no tiene raíz cuadrada exacta la dejamos igual: √2
Finalmente nos quedara que: √50 = √25.2 = √25 √2 = 5√2
Lo mismo hacemos para √98:
√98 = √49.2 = √49 √2 = 7√2
Reemplazamos los valores obtenidos:
3√2 + √50 - √98
3√2 + 5√2 - 7√2
3√2 + 5√2 - 7√2 = 1√2
El número "1" que nos queda podemos colocarlo o no según nuestra conveniencia.
¿Qué son las fracciones?
Se llaman así a todos los números que representen una cantidad inexacta, por lo general vienen de una división inexacta. Por ejemplo:
8 ÷ 5 El resultado de esta división será inexacto (cociente 1 y residuo 3)
8 ÷ 5 = 8
5
El resultado de esta división inexacta lo podemos representar como un número fraccionario
Ahora, este número fraccionario, o simplemente fracción tendrá sus partes definidas: 8 ~> es el numerador 5 ~> es el denominador
Además cabe resaltar que la raya o división central representa el operador matemático de división.
b) Números Mixtos:
Cuando el numerador sea mayor que el denominador, tendremos la posibilidad de representar la fracción como número mixto, es decir, una parte entera y otra parte fraccionaria. Veamos nuevamente nuestro caso:
8 ÷ 5 El resultado de esta división será inexacto (cociente 1 y residuo 3)
8 ÷ 5 = 8
5
c) Fracciones Equivalentes:
Hablamos de fracciones equivalentes cuando tenemos fracciones que valen exactamente lo mismo aunque se escriban de diferente manera. Existen básicamente dos formas de hallar fracciones equivalentes y son por simplificación y por ampliación.
En este primer ejemplo veremos una simplificación:
4
6
En esta fracción podemos observar que tanto el número 4 como el número 6 son divisibles entre 2.
4 ~> ÷2 ~> 2
6 ~> ÷2 ~> 3
Entonces dividimos a ambos números entre 2 (siempre debemos dividir a ambos entre el mismo número) y hallamos su equivalente.
Es muy recomendable simplificar siempre las fracciones para tener una mejor presentación.
Pero ahora veamos un ejemplo de ampliación:
3
4 En esta fracción no se puede simplificar, pero si se podrá ampliar de acuerdo a lo que nos convenga.
3 ~> x3 ~> 9
4 ~> x3 ~> 12 Podemos multiplicar a ambos números por un mismo número (por ejemplo 3) y hallamos una fracción equivalente.
Comparación de Números Fraccionarios
En el caso ideal de comparación se tienen fracciones de igual denominador, entonces la de mayor numerador será la mayor. Por ejemplo:
4 y 5 la mayor de ellas es 5 porque tiene igual denominador pero mayor numerador.7 7 7
Pero por lo general nos encontraremos con fracciones de diferentes denominadores, entonces tendremos que hacer un par de multiplicaciones para determinar cual es mayor, cual es menor, o si son iguales:
3 y 5
4 6
En este caso nosotros debemos determinar cual de estas fracciones representa mayor cantidad.
3 y 5
4 6
Multiplicaremos en forma cruzada los numeradores con los denominadores.
Así tendremos: 3 x 6 = 18 y 5 x 4 = 20
3 y 5
4 6
18 <20 Vemos que he colocado los resultados abajo de las fracciones y los he comparado. En este caso en particular resulta que el número 20 es mayor que el número 18
3 < 5
4 6
18 <20 Entonces lo mismo se repetirá en la fracción y 5 es mayor que 6/4
Adición y Sustracción de Números Fraccionarios
Utilizando un algoritmo sencillo podemos aprender a sumar fracciones mentalmente.
Veamos: Sean a /b y c/d dos fracciones cualesquiera. Si las deseamos sumar podemos seguir la siguiente regla:
a + c = ad + bc (se multiplica cruzado y los productos de suman)
b d bd (se multiplican los denominadores)
Veamos un ejemplo:
El jefe de Cheo repartió los trabajos de contabilidad de urgencia entre algunos de los contables. A Cheo le tocó una cuarta parte (1/4) de los trabajos de urgencia más la tercera (1/3) parte del trabajo que le iba a tocar al empleado que faltó. En total, ¿que parte del trabajo tiene que realizar Cheo?
1 + 1 = 1(3) + 4(1) = 3 + 4 = 7
4 3 (4)(3) 12 12
Solución: Cheo tuvo que realizar 7/12 del trabajo.
Notita para darle pensamiento: (para darle "coco")
¿A Cheo le tocó más de la mitad del trabajo o menos de la mitad del trabajo?
Solución:
Para comparar fracciones utilizamos las siguientes reglas de las proporciones
a. Si a = c entonces ad = cb
b d
b. Si a < c entonces ad < cb
b d
c. Si a > c entonces ad > cb
b d
Volviendo a Cheo, ¿7/12 es menor o mayor que 1/2 ?
7 ? 1 7(2) > 12(1), por lo tanto 7 > 1
12 2 12 2
De modo que Cheo realizó más de la mitad del trabajo.
Veamos otro ejemplo:
A María le tocaba una tercera parte de la herencia de su padre. Su madre le cedió a ella dos quintas partes adicionales que le tocaban a ella. ¿En total qué parte de la herencia la tocó a María?
Solución
1 + 2 = 1(5) + 3(2) = 5 + 6 = 11
3 5 15 15 15
A María le tocó 11/ 15 de la herencia de su padre.
Suma de Fracciones:
Para sumar dos fracciones, hay que tener en cuenta de que existen 2 tipos de fracciones:
1. Fracciones homogéneas (1, 3, 5) 4 4 4
2. Fracciones heterogéneas (1, 2, 3) 3 5 7
Las fracciones homogéneas son las fracciones que tienen el mismo denominador; y las fracciones heterogéneas son las fracciones que tienen diferentes denominadores.
Ejemplo de suma de fracciones homogéneas:
1 + 3 = 4
5 5 5
2 + 3 = 5
7 7 7
Ejemplo de suma de fracciones heterogéneas:
1 + 1
4 2
diferentes.>
Para sumar fracciones heterogéneas:
1. Se multiplican los denominadores.
2. Se multiplica cruzado y se coloca en el numerador.
3. Se suman los productos para obtener el numerador.
1 + 1
4 2
Paso 1 : 1 + 1 =
4 • 2 } =8>
Paso 2 : 1 + 1 = (2 •1) + (4 • 1) < Se multiplicó cruzado>
4 2 8
Paso 3: 2 + 4 = 6 < Se suman los productos para obtener el 8 8 numerador.>
Paso 4: 6 ÷ 2 = 3 < Se simplifica la fracción si es posible.>
8 2 4
Resta de Fracciones
En la resta de fracciones, se utilizan las mismas reglas de la suma de fracciones; pero en este caso hay que restar.
Ejemplo 1:
5 - 1 = 4 Resta de Fracciones Homogéneas
9 9 9
Ejemplo 2:
2 - 1 = ( 2 • 2) - (3 • 1) = 4 - 3 = 1
3 2 6 6 6
Multiplicación de Números Fraccionarios
Cuando tengamos que multiplicar dos o más números fraccionarios, simplemente debemos multiplicar todos los numeradores y todos los denominadores.
Si por ejemplo tenemos:
2 x 3 x 5 tendremos que multiplicar: 2 x 3 x 5 = 30
5 4 3 5 x 4 x 3 60
Claro que aun podríamos simplificar:
30 = 1
(hemos dividido, tanto al numerador como al denominador entre 30)
60 2
Pero para ahorrarnos la simplificación, podríamos ir simplificando antes de multiplicar, ya que podemos simplificar cualquier numerador con cualquier denominador:
2 x 3 x 5
5 4 3 Esta es la operación original
2 x 3 x 5
5 4 3 Puedo simplificar el numerador 2 con el denominador 4, para ello divido a ambos entre 2.
1 x 3 x 5
5 2 3 Ahora simplifico el numerador 3 con el denominador 3, para ello divido a ambos entre 3.
1 x 1 x 5
5 2 1 Finalmente podemos simplificar el numerador 5 con el denominador 5, para ello dividimos a ambos entre 5.
1 x 1 x 1 = 1
1 2 1 2 Resolvemos la multiplicación (multiplicamos todos los numeradores y todos los denominadores) y llegamos a la misma respuesta simplificada
División de Números Fraccionarios
Cuando tengamos que dividir números fraccionarios en realidad lo que se nos pide es hacer una multiplicación cruzada. Por ejemplo:
2 ÷ 3 = 8
5 4 =15
(Hemos multiplicado 2 x 4 para hallar el numerador 8)
(Hemos multiplicado 5 x 3 para hallar el denominador 15)
También podemos convertir la división a multiplicación, para esto cada vez que veamos una operador ÷ lo podremos reemplazar por un operador x siempre y cuando invirtamos la fracción que viene después del operador. Veamos el ejemplo anterior:
2 ÷ 3 = 2 x 4 = 8
5 4 5 3 15
(Hemos cambiado el operador ÷ por el operador x, y además
hemos invertido la fracción que venia después del ÷)
Lo más recomendable es llevarlo a multiplicación ya que así la operación la podemos hacer directamente sin importar la cantidad de fracciones que tengamos y además podemos simplificar antes de multiplicar. Por ejemplo:
4 ÷ 3 ÷ 2 ÷ 1
5 2 5 3
(Si la queremos resolver por multiplicación cruzada lo tendremos
que hacer de dos en dos y además no puedo simplificar antes)
4 x 2 x 5 x 3
5 3 2 1
(Ahora lo he convertido a multiplicación, puedo resolver todo
directamente y además podemos simplificar antes)
Solamente podemos simplificar antes de operar en la multiplicación
Potenciación de Números Fraccionarios
En la potenciación de números fraccionarios, o simplemente fracciones, tendremos que observar una condición y esta es que la fracción debe estar entre paréntesis para que la potencia la afecte a toda ella.
Si por ejemplo tenemos:
(4)3 = 43 = 4 x 4 x 4 = 64
3 33 3 x 3 x 3 27
Pero si lo tenemos sin paréntesis:
43 = 43 = 4 x 4 x 4 = 64
3 3 3 3
En los dos ejemplos anteriores observamos claramente el efecto del paréntesis y la necesidad de su empleo en la potenciación de fracciones.
Radicación de Números Fraccionarios
En este caso el radical afectara tanto al numerador como al denominador. Por ejemplo:3√8 = 3√8 = 2
(Porque 2 x 2 x 2 = 8) 27 3√27 3 (porque 3 x 3 x 3 = 27
LOS NÚMEROS COMPLEJOS
Cuando se estudió la solución de la ecuación de segundo grado se analizó el signo del discriminante y su relación con las soluciones. Si el discriminante era negativo se dijo que la ecuación no tenía raíces reales sino que las raíces eran imaginarias o complejas. Vamos ahora a estudiar los números complejos que nos darán la idea completa de la solución de la ecuación de segundo grado y una extensión de los conjuntos numéricos. Realizaremos lo que se llama la definición axiomática del conjunto de los números complejos.
Sección 1
Definición y operaciones en el conjunto de los números complejos.
Definición. Llamamos conjunto de los números complejos y lo denotamos con la letra al conjunto de los pares de números reales en el cual definimos las siguientes operaciones:
Suma.
Multiplicación.
En el número complejo llamaremos a la parte real y a la parte imaginaria. Note que la suma y producto de pares no está definida en .
Dos propiedades que cumplen los pares de números reales y que se mantienen para los complejos son:
Igualdad.
Multiplicación por un escalar.
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